KORELACJA czy KOINTEGRACJA

Pojęcia często mylone. Niby to samo … a jednak. Jak zwykle diabeł tkwi w szczegółach. Pojęcie kointegracji i korelacji są ze sobą powiązane, jednak koncepcje stojące z nimi zasadniczo są różne. Wysoka korelacja nie musi pociągać wysokiej kointegracji, tak samo jak wysoka kointegracja nie oznacza wysokiej korelacji. W szczególnych przypadkach możemy mieć do czynienia z szeregami o wysokiej kointegracji jednak niskiej korelacji. Dla przykładu rozważmy portfel 10 spółek indeksu WIG30 z wagami odpowiadającymi ich udziałom w indeksie. Portfel taki powinien wykazywać zbieżny trend z samym indeksem WIG30 i w efekcie wartość portfela w długim terminie powinna poruszać się zgodnie z samym indeksem. Jednakże portfel taki będzie wykazywał większą zmienność niż indeks i będą występowały okresy, w których aktywa nie wchodzące w skład portfela będą poddawane wyjątkowym skokom. Z tego właśnie powodu korelacja tych dwóch elementów może być niska. Poniższy wykres prezentuje sytuację w której występuje silna kointegracja jednak korelacja i w efekcie poszczególne stopy zwrotu nie wykazują silnej zależności.

    Wykres 01. Przykład słabej korelacji oraz silnej kointegracji.

               Możemy również zaobserwować sytuację odwrotną, w której silnie skorelowane zmienne nie będą wykazywały równie wysokiej kointegracji. Sytuacja ta zaprezentowana jest na poniższym wykresie, gdzie, w krótkich okresach czasu zwroty są zbieżne jednak same poziomy cen wyraźnie się od siebie oddalają.

     Wykres 02. Przykład silnej korelacji oraz słabej kointegracji.

Podsumowując, silna korelacja może występować zarówno w przypadku zmiennych wykazujących silną kointegrację, jak również w przypadku zmiennych, w których kointegracja ta nie występuje. Oznacza to, że korelacja absolutnie nic nam nie mówi o współzależności szeregów w długi terminie i w efekcie współczynniki korelacji nie stanowią odpowiedniej miary by zmierzyć ten efekt. Prawdą jest, iż współczynnik korelacji mierzy relację i kierunek stóp zwrotu dwóch szeregów. Stopy zwrotu jednakże nie zawierają informacji o długoterminowym trendzie. Stąd portfele budowane na bazie macierzy korelacji (np. teoria Markowitza) wymagają częstego bilansowania pozycji celem sterowania poziomem ponoszonego ryzyka. Co więcej strategie oparte o współczynniki korelacji nie gwarantują efektywności w długim terminie z uwagi, iż korelacja nie uwzględnia kointegracji długich i krótkich pozycji w portfelu. Z tego właśnie powodu przy modelowaniu ryzyka konieczne jest uwzględnienie również czynników długoterminowych. W tym celu na ratunek przychodzi narzędzie kointegracji, która w przeciwieństwie do korelacji mierzy współzależność szeregów w długim terminie. Zależność ta jak wcześniej zaznaczono może występować również w przypadku identyfikacji niskiej korelacji.

Formalnie mówimy, że szeregi wykazują kointegrację, jeżeli liniowa kombinacja tych szeregów jest procesem stacjonarnym. W szczególności dwa szeregi (zmienne losowe) X,Y są skointegrowane jeżeli istnieją takie a i b, że szereg:

jest stacjonarny. Zmienna Z stanowi zatem szereg odchyleń od długookresowego stanu równowagi. Wartość oczekiwana tej zmiennej definiuje średnią w długim okresie stanowiącą o zależności pomiędzy zmiennymi X i Y. Współczynniki a i b z kolei wyznaczają tzw. wektor kointegracji. W przypadku dwóch szeregów istnieje co najwyżej jeden taki wektor. Uogólniając na przypadek o większej liczbie szeregów mówimy, że szeregi czasowe są skointegrowane jeżeli istnieje co najmniej jeden wektor kointegracji, taki że liniowa kombinacja szeregów jest stacjonarna.

W praktyce celem modelowania kointegracji często wykorzystuje się procesy stochastyczne uwzględniające powrót do średniej (mean reverting), a stopień kointegracji jest odwzorowany w parametrach takiego modelu. W szczególności dużą role odgrywa parametr szybkości powrotu do średniej w procesie Ornsteina-Uhlenbecka.

A jak zmierzyć kointegrację? Celem oszacowania stopnia kointegracji konieczne jest posiadanie wystarczająco długiej historii szeregów czasowych. W przeciwnym wypadku, oszacowanie czynników długoterminowych może nie być możliwe lub co najmniej trudne i obarczone dużym błędem. Dwa najczęstsze podejścia do testowania kointegracji to metoda Engle`a-Granger`a oraz metoda Johansen`a. Twórcy pierwszej z nich wypracowali względnie proste podejście do oszacowania stopnia kointegracji. Zaproponowali wykorzystanie regresji opartej o metodę najmniejszych kwadratów i zastosowanie jej do badanych szeregów. Następnie proponują przeprowadzenie testu stacjonarności (testy pierwiastka jednostkowego - unit root test) dla reszt oszacowanego modelu regresji. Należy jednak zaznaczyć, iż istnieje wiele alternatywnych podejść jak na przykład metoda Philips'a-Ouliaris'a czy test Engle-Yoo. Dobór metody zależy od typu danych na których pracujemy, jak również celu jaki chcemy osiągnąć.

W praktyce implementacja narzędzia w arkuszu XLS nie jest bardzo trudna, jednak istnieje szereg bibliotek środowiska R które efektywnie wspomagają użytkownika w testowaniu kointegracji. W szczególności zachęcam do przetestowania biblioteki „egcm” (Engle-Granger Cointegration Models), która pozwala na przeprowadzenie dwustopniowego testu Engle-Granger. Biblioteka posiada również zaimplementowany szereg testów pierwiastka jednostkowego.

Dociekliwych odsyłam do ciekawych artykułów opisujących zjawisko kointegracji, jak również zastosowanie testów na kointegrację:

·         Cointgeration between gas nad power spot prices
·         Cointegration: The Engle and Granger approach
·         A Residual-Based Cointegration Test for Near Unit Root Variables
·         Testing for Unit Roots and Cointegration
·         Unit root test