Jak bardzo kłamie VaR

Jedną w wielu podejść do walidacji miary VaR jest oszacowanie błędu standardowego tj. estymowane odchylenia standardowego błędu tej metody tj. odchylenia standardowego różnicy między mierzoną (estymowaną) wartością a wartością prawdziwą. Błąd w wykorzystaniu metody symulacji historycznej wynika ze skończonej historii na bazie której szacuje się potencjalną stratę. Prawdziwa wartość błędu standardowego jest zwykle nieznana, a jako jej szacunek przyjmuje się odchylenie standardowe dla rozkładu średniej z próby. W uproszeniu oznacza to wyznaczenie przedziału, w którym z zadanym prawdopodobieństwem np. 95% estymowana wartość (w naszym przypadku VaR czyli kwantyl rozkładu strat) będzie się znajdował.

Panowie Kendall i Steward w publikacji z 1972 roku zaproponowali wzór na błąd standardowy estymacji kwantyla rozkładu prawdopodobieństwa oszacowanego na podstawie próby danych:

gdzie n oznacza liczbę obserwacji, q jest wartością kwantyla wykorzystywanego przy wyznaczaniu miary VaR, natomiast n oznacza liczbę obserwacji, na podstawie której oszacowano wartość. Wartość otrzymanego błędu mówi zatem w jakim zakresie obserwowane wartości VaR mogą odchylać się od wartości rzeczywistej przy założeniu rozkładu normalnego zmiennej losowej. Założenie o normalności rozkładu strat jest założeniem upraszającym zważywszy, iż empiryczne rozkłady często posiadają grube ogony wynikające z notowania znacznych strat z względnie niewielkimi prawdopodobieństwami (starty ekstremalne, EVT). Do dokładniejszego oszacowania błędu można wykorzystać rozkłady zbliżone do rzeczywistych, jest to jednak znacznie bardziej wymagające z punktu widzenia obliczeniowego.

Przykładowo jeżeli VaR został oszacowany na poziomie 1,0 mln PLN, a błąd standardowy zgodnie z zaproponowaną formułą wynosi 0,1 mln zł, oznacza to że z prawdopodobieństwem 68,2% rzeczywista wartość VaR znajduje się w przedziale od 0,9 do 1,1 mln zł. Chcąc zwiększyć poziom pewności, iż szacowany przedział pokryje nam rzeczywistą wartość parametru możemy wykorzystać własności rozkładu normalnego i przeskalować wartość z wykorzystanie wartości krytycznej rozkładu normalnego. Dla poziomu ufności 95% (z założeniem dwustronnego odcięcia ogona) wartość krytyczna wynosi 1,96. Także z takim założeniem możemy powiedzieć że wartość VaR znajduje się w przedziale od 0,804 (=1-1,96*0,1) do 1,196 (=1+0,1*1,96). Idąc dalej zgodnie z metodą 3-ech sigm przedział plus/ minus 3*sigma pokrywa nam wartość rzeczywistą z prawdopodobieństwem 99,8%.

Zgodnie ze wzorem łatwo również zauważyć, iż wraz ze zwiększaniem liczby obserwancji, na bazie której oszacowano wartość VaR maleje również błąd tego szacunku. Jest to zgodne z intuicją, gdyż dłuższe szeregi czasowe pozwalają wyznaczyć ryzyko z dużo większą precyzją.