Dlaczego pierwiastek?

    Według Wikipedii miara ryzyka to pojęcie w matematyce finansowej oznaczające funkcję, która pozycji finansowej o niepewnej wartości przyszłej przypisuje współczynnik ryzyka, wyrażany przez liczbę rzeczywistą. Definicja jak to definicja … mglista. Możemy spróbować sprecyzować tę definicję z wykorzystaniem języka matematyki i określić miarę ryzyka w nieco odmienny sposób jako:

funkcję odwzorowującą elementy pewnej podprzestrzeni liniowej V przestrzeni zmiennych losowych określonych na przestrzeni probabilistycznej (O, F, P), w liczby rzeczywiste spełniającą dwa aksjomaty miar ryzyka tj. monotoniczność i niezmienniczość.

Jaśniej? Niekoniecznie. Sucha definicja bez przykładów niewiele nam mówi. A co usłyszymy jak zapytamy dowolnego kwanta o podanie przykładu miary ryzyka? Odpowiedź w 95% przypadków będzie szybka i tożsama … Value at Risk. VaR niepodważalnie stał się standardem w obszarze pomiaru ryzyka i znajduje szerokie zastosowanie również poza obszarem ryzyka rynkowego. Miara stałą się protoplastą wielu pokrewnych narzędzi w różnych dziadzinach poprzez PaR, EaR, CFaR, aż po zastosowania w ryzyku operacyjnym (OpVaR) czy kredytowym (CreditVaR). By było ciekawiej obok trzech podstawowych równie wiele jest odmian metod szacowania jej wartości. Najprostszą i najmniej wymagającą obliczeniowo jest metoda wariancji – kowariancji, w myśl której VaR szacuje się w następujący sposób:

gdzie kolejne elementy oznaczają cenę aktywa, wolumen otwartej pozycji, zmienność, wartość krytyczną rozkładu normalnego dla zadanego poziomu ufności oraz skalowanie pierwiastkiem czasu w oparciu o założony horyzont przetrzymania pozycji.

    Łatwość stosowania i implementacji metody ma jednak swoją cenę. Uproszenia w metodzie i założenia często znacznie odbiegające od rzeczywistości napotykamy praktycznie w każdym elemencie kalkulacji. Od sposobów wyceny pozycji, szacowanie zmienności aż po zastosowanie rozkładu gaussowskiego czy skalowanie miary pierwiastkiem czasu. O wadach i zaletach powstała niezliczona ilość opracowań. Tutaj jednak skupmy się nad tym ostatnim próbując wyjaśnić dlaczego do przeskalowania miary VaR w czasie stosujemy zwykły pierwiastek kwadratowy. O ile wzrost ryzyka w czasie jest dla nas intuicyjny, o tyle zastosowanie takiej funkcji nie jest już takiej oczywiste. Aby to wyjaśnić musimy oprzeć się na logarytmicznych stopach zwrotu, dla których uzyskujemy prosty związek pomiędzy wariancją w jednym kroku a wariancją w dłuższym okresie. Wiemy że:

.

    Zakładając dodatkowo, że wariancja pomiędzy stopami zwrotu jest zerowa (są nieskorelowane) możemy skorzystać z własności mówiącej że wariancja sumy jest sumą wariancji:

Zakładając dodatkowo, że zmienne losowe stóp zwrotu mają identyczne rozkłady otrzymujemy tożsame wartości wariancji dla każdego kroku i w konsekwencji możemy zapisać, że:

Chcąc wykorzystać to w kalkulacji VaR musimy przejść z wariancji na odchylenie standardowe wykorzystując prostą zależność, iż odchylenie jest pierwiastkiem wariancji. Ostatecznie mamy:

    Jak widać funkcja pierwiastek we wzorze na Value at Risk znajduje swoje twarde uzasadnienie, jednak jej stosowanie wymaga kolejnego zestawu nie przystających do rzeczywistości założeń. Sprawia to, że błąd szacunku, i tak z złożenia niemały, staje się jeszcze większy. Konkluzja z tego może być taka, by wykorzystać prostotę kalkulacji miary z wykorzystaniem metody wariancji-kowariancji może nie dokładać do niej dodatkowych założeń i w praktyce stosować VaR 1-dniowy pomijając tym samym element skalowania czasem. Ponadto stosowanie VaR w horyzoncie jednego dnia znacznie ułatwia walidację i parametryzację metody. Ale o tym może przy innej okazji …